telomere 問題集
1． 頂点及び底面の直径を含む平面で切断したときの断面が，頂角 \(\theta\) \((0<\theta<\pi)\) ，等辺 1 の二等辺三角形となる直円錐がある．この直円錐を母線の一つを軸に一回転させたとき，直円錐の表面及び内部が通過する領域の体積 \(V_\theta\) を \(\theta\) で表せ．
2． 点 \(\mathrm O\) を原点とする \(xyz\) 空間において，\(0<a\) を満たす \(a\) に対して
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\begin{pmatrix}
1 \\ 1-a \\ 1
\end{pmatrix}\) ，\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}\) ，\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\begin{pmatrix}
-1 \\ \dfrac{1}{a} \\ 2
\end{pmatrix}\) とする．
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) \((s\geqq 0\mathrm{\ ，} t\geqq 0\mathrm{\ ，} u\geqq 0\mathrm{\ ，} s+3t+2u\leqq6)\)
によって定められる点 \(\mathrm P\) が存在しうる範囲を \(W_a\) とするとき，\(W_a\) の体積の最小値を求めよ．
3．\(a<0\) または \(1<a\) とする。2 つのベクトル \(\boldsymbol x=\left(a,\ \dfrac{4}{a-1}\right)\mathrm{ ，}\boldsymbol y=\left(-\dfrac{9}{a},\ a-1\right)\) が張る平行四辺形の面積の最小値及びそのときの \(a\) の値を求めよ。
最終更新日時：2025/02/24 16:56 複製・再配布可